非线性规划常见题型及解决方案
非线性规划是解决一类非线性约束条件下的最优化问题的方法。以下是四种常见的非线性规划问题及其解决方案：
一、目标函数求最值
这类问题通常是最常见的非线性规划问题，目标函数是非线性的，并且可能包含多个变量。求解这类问题通常采用梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法等。
例1：求函数f(x,y) = x2 y2在约束条件x y = 1下的最小值。
解：我们引入变量，令 = x y，则问题可以转化为求函数f(x,y) = x2 y2在约束条件 = x y = 1下的最小值。然后，利用梯度下降法求解最优解。
二、约束条件下求最值
这类问题是在给定约束条件下求目标函数的最值。求解这类问题通常采用拉格朗日乘数法、可行方向法和罚函数法等。
例2：求函数f(x,y) = x2 y2在约束条件x 2y = 1下的最大值。
解：我们引入拉格朗日乘数λ，构造拉格朗日函数f(x,y) λ(x 2y - 1)，然后求出最优解，最后通过代入约束条件求得最大值。
三、多目标规划问题
这类问题是在多个目标之间进行权衡和优化。求解这类问题通常采用分层序列法、加权和法、理想点法等。
例3：求解下列多目标规划问题：mi{f1(x),f2(x),…,f(x)} (其中i=1,2,…,)，以及满足约束条件的x。
解：将多个目标函数进行加权求和，构造一个新的目标函数，然后将约束条件加入到目标函数中，最后求解最优解。
四、动态规划问题
这类问题是在动态过程中求解最优化问题，即在不同时刻做出决策，以达到最优效果。求解这类问题通常采用逆推法、递推法和状态转移法等。
例4：求解下列动态规划问题：设有一个背包，容量为W，有个物品，每个物品的重量为wi(i=1,2,…,)，价值为vi(i=1,2,…,)，求解在不超过背包容量的前提下，使得背包中物品的总价值最大。